Paradoxon vom Falsch-Positiven

by Gunnar on 11. Mai 2010 · 62 comments

Der folgende Text ist ein ganz hübscher Auszug aus Cory Doctorows Buch Little Brother, in der Fan-Übersetzung von Christian Wöhrl. Die Geschichte erzählt den Kampf von ein paar 17jährigen Schülern gegen die US-Heimatschutzbehörde, die nach einem Terroranschlag versucht, ganz Amerika in eine Art Polizeistaat zu verwandeln. Ist eher ein Jugendbuch und literarisch nicht allzu anspruchsvoll, aber flott geschrieben und kostenlos. Gibt’s auch als halbwegs okayes (Fan-)Hörbuch, gelesen von Fabian Neidhart.

»Wenn du jemals auf die Schnapsidee kommen solltest, einen automatischen Terrordetektor zu bauen, dann solltest du erst mal eine bestimmte Mathematik-Lektion lernen. Sie heißt „Paradoxon vom Falsch-Positiven“, und sie ist ein Prachtstück.

Nimm an, es gibt diese neue Krankheit, sagen wir, Super-AIDS. Nur einer von einer Million Menschen bekommt Super-AIDS. Du entwickelst einen Test, der eine Genauigkeit von 99 Prozent hat. Damit meine ich, er liefert in 99 Prozent der Fälle das korrekte Ergebnis: „ja“, wenn der Proband infiziert ist, und „nein“, wenn er gesund ist. Dann testest du damit eine Million Leute.

Einer von einer Million Leuten hat Super-AIDS. Und einer von hundert Leuten, die du testest, wird ein „falsch-positives“ Ergebnis generieren – der Test wird ergeben, dass der Proband Super-AIDS hat, obwohl er es in Wahrheit nicht hat. Das nämlich bedeutet „99 Prozent genau“: ein Prozent falsch.

Was ist ein Prozent von einer Million?

1.000.000/100 = 10.000

Einer von einer Million Menschen hat Super-AIDS. Wenn du wahllos eine Million Leute testest, wirst du wahrscheinlich einen echten Fall von Super-AIDS ausfindig machen. Aber dein Test wird nicht genau eine Person als Träger von Super-AIDS identifizieren. Sondern zehntausend Leute.

Dein zu 99 Prozent genauer Test arbeitet also mit einer Ungenauigkeit von 99,99 Prozent.

Das ist das Paradoxon vom Falsch-Positiven. Wenn du etwas wirklich Seltenes finden willst, dann muss die Genauigkeit deines Tests zu der Seltenheit dessen passen, was du suchst. Wenn du auf einen einzelnen Pixel auf deinem Bildschirm zeigen willst, dann ist ein spitzer Bleistift ein guter Zeiger: Die Spitze ist viel kleiner (viel genauer) als die Pixel. Aber die Bleistiftspitze taugt nichts, wenn du auf ein einzelnes Atom in deinem Bildschirm zeigen willst. Dafür brauchst du einen Zeiger – einen Test –, der an der Spitze nur ein Atom groß oder kleiner ist.

Das ist das Paradoxon vom Falsch-Positiven, und mit Terrorismus hängt es wie folgt zusammen: Terroristen sind wirklich selten. In einer 20-Millionen-Stadt wie New York gibt es vielleicht einen oder zwei Terroristen. Vielleicht zehn, allerhöchstens. 10/20.000.000 = 0.00005 Prozent. Ein zwanzigtausendstel Prozent.

Das ist wirklich verdammt selten. Und jetzt denk dir eine Software, die alle Bankdaten, Mautdaten, Nahverkehrs- Daten oder Telefondaten der Stadt durchgrasen kann und mit 99-prozentiger Genauigkeit Terroristen erwischt. In einer Masse von 20 Millionen Leuten wird ein 99 Prozent genauer Test zweihunderttausend Menschen als Terroristen identifizieren. Aber nur zehn davon sind wirklich Terroristen. Um zehn Schurken zu schnappen, muss man also zweihunderttausend Unschuldige rauspicken und unter die Lupe nehmen.

Jetzt kommt’s: Terrorismus-Tests sind nicht mal annähernd 99 Prozent genau. Eher so was wie 60 Prozent. Manchmal sogar nur 40 Prozent genau.

Und all das bedeutete, dass die Heimatschutzbehörde zum Scheitern verdammt war. Sie versuchte, unglaublich seltene Ereignisse – eine Person ist ein Terrorist – mit unpräzisen Systemen zu erkennen.

Kein Wunder, dass wir es schafften, so ein Chaos zu verbreiten.«

Das Phänomen, das Doctorow hier so anschaulich beschreibt, wirkt vor allem bei medizinischen Problemen: Die flächendeckenden Mammografien etwa, mit denen Brustkrebs entdeckt werden soll, stehen im Verdacht, durch Strahlenbelastung und die große Zahl an Fehldiagnosen mehr Schaden anzurichten als zu vereiteln. Jede zweite Frau, die regelmäßig an Brustkrebs-Screenings teilnimmt, erhält irgendwann die Krebsdiagnose, obwohl nur jede achte bis zehnte Frau daran erkrankt.

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